In this pathetic day of US , all the sorrow could be taken down.
P1329 数列
题目描述
有这样一种数列A{1}A1、A{2}A2、A{3}A3、……A{n}A**n，其中A{1}=0A1=0，且对任意一项A{i}A**i满足|A{i}-A{i+1}|=1∣A**i−A**i+1∣=1（1\le i<n1≤i<n）。设S=A{1}+A{2}+A{3}+…+A{n}S=A1+A2+A3+…+A**n，表示前nn项之和。 现在给出数列长度nn与数列前nn项之和SS，要求：
输出满足条件的数列的总数。
输出满足条件的100100个数列（如果不满100100个就全部输出）。
输入格式
一行，包含两个整数nn和SS（1\le n\le 1001≤n≤100），用一个空格隔开。
输出格式
第1行一个整数t（0\le t\le 2^{63}-10≤t≤263−1），表示满足条件的数列总数。
接下来每行输出一个数列，数列各项之间用一个空格隔开。
若满足条件的数列数目不满100100个，全部输出即可。
输入输出样例
输入 #1复制
输出 #1复制
题解
有个标签是数论我觉得是扯淡，我感觉这道题线性dp再好不过了。
首先设$f{i,j,k}$表示前$i$个数最后一个数是$j$并且加和为$k$的方案数是多少，最后的答案是$\sum{i=-n}^{n}f_{n,i,S}$
不难发现状态包含了全部需要转移的信息。每次转移是常数复杂度，只能比前一个多-1，1。
时间复杂度是$O(n^4)$
这个输出方案很不好办，可能需要贪心。
用另外一个数组zz[i,j,k,1]表示f[i-1,j-1,k-j]是否存在方案，存在即保存j-1，意为可以从j-1得到当前的状态，zz[i,j,k,2]保存f[i-1,j+1,k-j]是否存在方案。
最后，用递归输出就行了
很套路的做法，还是一样递归输出路径
现在开始爆肝CTS和WC的难题了。
[国家集训队]礼物
题目描述
一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小E都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小E心目中的重要性不同，在小E心中分量越重的人，收到的礼物会越多。小E从商店中购买了n件礼物，打算送给m个人，其中送给第i个人礼物数量为wi。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模P后的结果。
输入格式
输入的第一行包含一个正整数P，表示模；
第二行包含两个整整数n和m，分别表示小E从商店购买的礼物数和接受礼物的人数；
以下m行每行仅包含一个正整数wi，表示小E要送给第i个人的礼物数量。
输出格式
若不存在可行方案，则输出“Impossible”，否则输出一个整数，表示模P后的方案数。
输入输出样例
输入 #1复制
输出 #1复制
输入 #2复制
输出 #2复制
说明/提示
【样例说明】
下面是对样例1的说明。
以“/”分割，“/”前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。12种方案详情如下：
1/23 1/24 1/34
2/13 2/14 2/34
3/12 3/14 3/24
4/12 4/13 4/23
设P=p1^c1 p2^c2 p3^c3 … pt ^ ct，pi为质数。
对于15%的数据，n≤15，m≤5，pi^ci≤10^5；
在剩下的85%数据中，约有60%的数据满足t≤2，ci=1，pi≤10^5，约有30%的数据满足pi≤200。
对于100%的数据，1≤n≤10^9，1≤m≤5，1≤pi^ci≤10^5，1≤P≤10^9。
题解
这道题充分体现了我现在组合数学跟hape一样。
首先凭借感觉想到答案：
$ANS = \binom{n}{\sum wi} * \prod {j}\binom{\sum wi - \sum w{j-1}}{w_j}$
证明一一映射即可。
首先这种表达的每种方案肯定是正确的，证明所有正确的答案都被这种表达囊括即可。
考虑一种方案，选了$\sum w_i$个位置，这在答案的第一项体现，之后内部的分配再通过后面来包括。