2006DMM-Devil Round-D8
What is the maximum number of pieces that an spherical watermelon can be divided into with four straight planar cuts?
题解
interesting problem。
把最多平面划分拓展到三维。
二维递推就非常简单了
$an = a{n-1} + n$
$a_n = \frac{n * (n-1)}{2}$
三维可以用一样的递推思路，如果我们得到上一次划分的数量$b_{n-1}$.现在要划分一次。
很容易发现只要面相交一次就会增加一块。这样就是平面划分的个数。
$bn = b{n-1} + a_{n-1}$
求和后得到$b_n = \frac{n^3 + 5n + 6}{6}$
喜闻乐见。